Derived Algebraic Geometry III: Commutative Algebra

1 ∞-Operads 4 1.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Fibrations of ∞-Operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Algebra Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Cartesian Monoidal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 CoCartesian Monoidal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6 Monoidal Envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.7 Subcategories of O-Monoidal ∞-Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.8 ∞-Preoperads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.9 O-Operad Families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.10 Unital ∞-Operads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56